Enfant prodige du ski, il a commencé à s'y consacrer à l'âge de quatre ans sous la houlette de ses parents. À partir de 1973, il entame une carrière sportive professionnelle et fait rapidement ses preuves en remportant son premier titre national junior en slalom.
En 1980, Bernard Veyret se distingue en devenant champion du monde juniors de slalom à Lake Placid (États-Unis). Cette performance lui permet de gagner une place pour les Jeux olympiques d'hiver qui ont lieu à Lake Placid la même année.
En 1983, il remporte son premier titre en Coupe du Monde à Aspen (États-Unis) et devient ainsi le premier Français à devenir le leader de cette prestigieuse compétition. En 1985, il obtient sa première victoire aux Jeux mondiaux militaires à Suhl (Allemagne).
En 1988, Bernard Veyret participe aux Jeux olympiques d'hiver de Calgary et y remporte la médaille de bronze en slalom. Cette même année, il est sacré champion du monde en slalom à Madonna di Campiglio (Italie).
En 1990, il décroche son deuxième titre mondial en slalom à Vail (États-Unis) et devient ainsi le premier skieur français à remporter deux fois la coupe du monde de slalom. En 1992, il participe aux Jeux olympiques d'hiver de Albertville et y remporte une nouvelle médaille de bronze en slalom.
En 1993, Bernard Veyret met un terme à sa carrière sportive. Depuis cette date, il continue à être actif dans le monde du ski, en tant que commentateur pour les chaînes de télévision et en participant à des événements liés au ski alpin. En 2018, il est élu membre de l'Académie des sports français, qui récompense les grands sportifs de tous les temps.
Bernard Veyret a été un athlète exceptionnellement doué, dont la précision et la rapidité étaient légendaires dans le monde du ski alpin. Il est considéré comme l'un des meilleurs skieurs français de l'histoire.