Stuart Martin a grandi à Epping dans l'Essex, où il a suivi ses études à la Coopers' Company and Coborn School. Il a ensuite poursuivi sa formation à la Bristol Old Vic Theatre School. Avant de se consacrer entièrement à la comédie, Stuart Martin a travaillé en tant que coureur et moniteur de ski sur les neiges de l'Alaska.
Il débute au théâtre dans les années 2010 avec des rôles dans *Coriolanus* ou encore *The Dresser*. C'est en 2013 que Stuart Martin fait ses premiers pas à la télévision dans un épisode de la série britannique *Inspecteurs Vexed*, puis il joue le rôle principal dans la mini-série *DCI Banks* et se fait ainsi remarquer.
En 2013, il obtient un des rôles principaux de la série historique *Vikings*, où il interprète Rollo Maddison, un jeune homme d'ascendance anglaise qui se convertit à la religion norvégienne et devient l'un des premiers Vikings. La série est un grand succès critique et commercial et Stuart Martin reçoit de nombreuses critiques élogieuses pour son interprétation.
En 2016, il joue le rôle du prince Jack dans la saison 3 d'*Outlander*. Le personnage est introduit comme étant l'époux de Claire Fraser (Caitriona Balfe), qui a été transportée dans le passé pour la seconde fois. Stuart Martin incarne le jeune prince, naïf et doux, mais aussi courageux.
Stuart Martin poursuit également sa carrière au théâtre en 2018 avec *Moscow Moscow Moscow Moscow Moscow Moscow*, une pièce d'Edward Albee. En parallèle, il se consacre à son métier de coach vocal et travaille avec des artistes comme Leona Lewis ou encore Ellie Goulding pour améliorer leur technique vocale.