Fils de Jean Prosper De La Chapelle, lieutenant général au bailliage royal et commissaire ordonnateur aux armées du roi Louis XV, et de Marie-Madeleine Le Féron, il a perdu très jeune sa mère. Après des études à Angers, il part pour Paris en 1782 pour se perfectionner dans les mathématiques.
De retour à Angers, il est nommé professeur de mathématiques au lycée royal (actuel lycée Perrin-Duval) et publie son premier livre, "Introduction à l'Analyse", en 1789.
En 1790, il est élu membre de l'Académie des Sciences et prend part aux travaux de la section des mathématiques, mais doit rapidement quitter Angers pour Paris en raison du chaos révolutionnaire.
À partir de cette date, Robert Prosper De La Chapelle se consacre entièrement à ses recherches scientifiques, contribuant notamment à l'établissement de la théorie générale des équations différentielles linéaires. Il publie également plusieurs ouvrages destinés à simplifier les mathématiques pour un large public, tel que "Mémoire sur le calcul différentiel et sur les applications de cet calcul aux sciences physiques" (1806) et "Traité élémentaire d'algèbre" (1824).
En 1795, il est nommé professeur à l'École Polytechnique et en 1833 à la Faculté des Sciences de Paris. Il est également membre de plusieurs académies savantes françaises, telles que l'Académie française, l'Académie des sciences et les Académies des Sciences morales et politiques.
Robert Prosper De La Chapelle a ainsi laissé une importante trace dans le domaine des mathématiques et de la pédagogie mathématique. Son œuvre est encore citée et étudiée à ce jour, notamment pour son apport aux équations différentielles et sa volonté d'adaptation de la pédagogie mathématique à un public plus large.