Après avoir passé son enfance dans sa ville natale, il déménage à Paris à l'âge de 15 ans avec ses parents. Il étudie au lycée Molière, puis entre à l'École normale supérieure de Saint-Cloud où il obtient un baccalauréat en lettres classiques en 1958.
Il fait ses débuts sur scène dans une pièce de théâtre produite par Jean Vilar au Festival d'Avignon en 1956, avant de se lancer dans une carrière de chanteur et d'acteur à Paris. Il rencontre un certain succès en France, notamment grâce aux disques qu'il sort sous le label Barclay Records, qui font connaître sa voix douce et vibrante, notamment avec des reprises françaises de grands standards américains.
En 1964, Richard Anthony est choisi pour interpréter le rôle de Frollo dans la comédie musicale Notre-Dame de Paris, adaptée du roman de Victor Hugo et créée à Paris par Jacques Chancel et Claude-Michel Schönberg. Le succès sera immense, avec plus de 10 millions d'entrées enregistrées. La pièce marquera une étape importante dans la carrière de Richard Anthony, qui restera associé au rôle de Frollo pour le public français pendant plusieurs décennies.
En 1978, Richard Anthony revient à Montréal et se consacre à sa carrière d'acteur, apparaissant notamment dans des séries télévisées telles que Les Invincibles, Une femme d'à peu près tout le temps et Le Paradis terrestre.
Richard Anthony a été récompensé de plusieurs prix, dont un César pour la meilleure interprétation masculine dans un second rôle en 1986 pour son travail dans la pièce La Chute des aigles. Il est également membre de l'Ordre national du Québec depuis 2004.
Richard Anthony reste actif à ce jour, continue de chanter et de se produire en concert, notamment en France et au Canada. Sa carrière est marquée par des succès artistiques et une popularité durable auprès du public français et québécois.