Palmer est né dans une famille de marins à Chicago. À l'âge de dix ans, il se passionne pour les explorations polaires après avoir lu un livre sur Ernest Shackleton et Robert Falcon Scott. Après avoir terminé ses études secondaires, Palmer suit des cours en navigation marine au California Maritime Academy.
En 1982, alors qu'il était encore à l'université, il fut invité à participer à une expédition polaire menée par Ronne Antarctic Research Expedition (RARE) dirigée par Richard Gildea. L'expédition était destinée à explorer la partie sud de la terre de Graham Land en Antarctique, mais elle prit un tournant inattendu lorsqu'elle découvrit accidentellement une nouvelle terre alors que les navigateurs cherchaient une écrinière perdue. Cette découverte fut baptisée Terre de la Reine-Maud par le gouvernement norvégien en l'honneur de la reine Maud de Norvège.
Palmer a continué à voyager et à explorer après sa découverte de la terre de la Reine-Maud. En 1986, il participe à une expédition pour explorer les mers polaires arctiques en tant que navigateur sur l'expédition Arctic 2000. Il a également travaillé comme pilote commercial et enseignant de navigation.
En 1995, Palmer est devenu le premier américain à traverser la Terre de la Reine-Maud à pied. Plus tard cette année-là , il devient le premier navigateur de l'histoire à avoir atteint l'Antarctique en traversant le Cercle Polaire Arctique et le Cercle Polaire Antarctique (en anglais : North-South Traverse).
En 1997, Palmer a reçu une médaille d'or du National Geographic Society pour ses explorations polaires. En 2014, il est devenu un membre de l'Académie Polaire des États-Unis.
Depuis lors, Palmer continue à travailler dans le domaine de la navigation maritime et à donner des conférences sur son expérience en tant qu'explorateur polaire.