Enfant prodige, Linda a commencé à nager à l'âge de 5 ans. À partir de ce moment-là , son talent exceptionnel a été reconnu et elle a été mise sous la responsabilité d'entraîneurs expérimentés tels que Leigh Nugent et Ron Massey.
En tant que nageuse junior, Linda a remporté plusieurs médailles aux championnats australiens de natation en bassin de 50 mètres. En 1987, elle a participé à son premier championnat du monde en bassin long (25m) et a remporté la médaille de bronze sur le relais 4 x 100 mètres brasse féminin.
En 1988, Linda a représenté l'Australie aux Jeux olympiques d'été de Séoul en Corée du Sud. Elle a participé à trois épreuves (100 et 200 mètres brasse et 4 x 100 mètres nage libre) et a remporté une médaille de bronze sur le relais 4 x 100 mètres nage libre.
En 1989, Linda Morris a remporté la médaille d'or sur le relais 4 x 100 mètres brasse féminin aux championnats du monde de natation en bassin long à Perth, en Australie. Elle a également remporté l'argent lors des épreuves individuelles des 100 et 200 mètres brasse féminin.
En 1991, Linda Morris a remporté son premier titre mondial individuel en gagnant le 200 mètres brasse féminin aux championnats du monde de natation en bassin long à Perth, en Australie. Elle a également remporté l'argent sur le relais 4 x 100 mètres nage libre et le bronze sur le relais 4 x 100 mètres brasse féminin.
En 1992, Linda Morris a participé à ses deuxième Jeux olympiques d'été à Barcelone en Espagne. Elle a remporté deux médailles : l'or sur le relais 4 x 100 mètres nage libre et l'argent dans la finale du 200 mètres brasse féminin.
En 1993, Linda Morris a remporté son deuxième titre mondial individuel en gagnant le 200 mètres brasse féminin aux championnats du monde de natation en bassin long à Rome, en Italie. Elle a également remporté l'argent sur le relais 4 x 100 mètres nage libre et le bronze sur le relais 4 x 100 mètres brasse féminin.
Linda Morris a pris sa retraite de la natation en 1996 après avoir représenté l'Australie aux Jeux olympiques d'été à Atlanta, où elle n'a pas réussi à décrocher de la médaille. Elle a été intronisée au Temple international de la renommée de la natation en 2014.
Depuis sa retraite sportive, Linda Morris est devenue journaliste et analyste de sports pour le réseau de télévision australien SBS et est également active dans les activités caritatives. Elle vit actuellement à Sydney avec son époux et ses deux enfants.