Après des études à Kiev, Léon Kaplan quitte la Russie en 1918 pour s'installer en France, où il sera naturalisé en 1923. Il aura pour maîtres Georges Hüe et Nadia Boulanger.
En 1924, il est élu premier prix au Conservatoire de Paris dans la classe de piano de Raoul Pugno, ce qui lui permet d'obtenir une bourse du gouvernement français pour effectuer un séjour de deux ans à Vienne en Autriche (où il étudie avec Karl Hoffstetter), puis à Berlin, où il se lie d'amitié avec les compositeurs Paul Hindemith et Kurt Weill.
De retour à Paris en 1928, Léon Kaplan obtient rapidement des commandes de musique pour la scène et compose sa première symphonie l'année suivante. En 1934, il est élu membre du jury du Concours international de piano Long-Thibaud, qui a lieu chaque année à Paris. Il enseigne également au Conservatoire de Paris, où son élève le plus connu est Francis Poulenc.
Pendant la Seconde Guerre mondiale, Léon Kaplan reste actif dans la résistance et compose plusieurs œuvres importantes, notamment sa deuxième symphonie, créée en 1943 au Théâtre des Champs-Élysées par le chef d'orchestre Paul Paray.
Après la guerre, Léon Kaplan se consacre principalement à la composition et compose de nombreuses œuvres de musique de chambre, orchestrales, vocales et pour piano, dont certaines sont créées à l'étranger (notamment aux États-Unis). Il meurt le 23 octobre 1972 à Paris.
Son œuvre est marquée par une grande originalité et une grande émotion, elle a été comparée à celle de Rachmaninoff pour la mélodie et de Sibelius pour l'orchestration. Son style est très personnel, il s'inspire toutefois de diverses influences, notamment celles de la musique russe et des compositeurs français modernes comme Maurice Ravel et Claude Debussy.