Il a débuté sa carrière en 1986, au théâtre Les Deux Mondes à Paris. En 1988, il participe à l'émission Je suis une célébrité, sortez-moi de ce château ! sur TF1. Puis il se fait connaître du grand public en 1990 grâce à son apparition dans le film Les Rivières pourpres de Mathieu Kassovitz et dans la série télévisée Les Cordier, juge et flic aux côtés de Philippe Torreton.
En 1993, il est l'un des membres fondateurs du duo humoristique Storch & Co avec Alexandre Mnouchkine et David Marsais. Le trio connaît rapidement le succès en France grâce à leurs spectacles de sketchs qui mêlent humour et satire sociale.
En 1998, Laurent Storch rejoint l'équipe de la nouvelle émission Les Guignols de l'info sur Canal+, où il interprète des personnages tels que Nicolas Sarkozy, Jacques Chirac ou encore Jean-Pierre Raffarin. Il quitte cette émission en 2006 pour se consacrer à d'autres projets.
En 2014, il revient sur Canal+ dans une nouvelle émission intitulée Le Grand Journal avec Laurent Ruquier, où il interprète des personnages tels que François Hollande et Marine Le Pen. Il reste membre de l'équipe du journal jusqu'en 2017.
Laurent Storch est également actif dans le doublage, notamment dans les films de la saga Shrek. En 2004, il participe à une émission de téléréalité intitulée Koh-Lanta, où il se fait éliminer en finale.
En 2019, il rejoint la nouvelle émission Les Grandes Gueules du football sur Canal+, où il commente les matchs avec des humoristes et des invités célèbres.
Laurent Storch est également connu pour ses activités caritatives, notamment en faveur de l'association SOS Villages d'Enfants.