Bernard Kempf a commencé ses études de piano à l'âge de 7 ans, grâce à sa mère, pianiste amateur. À 14 ans, il entre au Conservatoire de Lausanne, où il reçoit la formation initiale de son maître, Claude Helffer. De 1968 à 1972, il étudie à la Hochschule für Musik de Vienne avec Paul Badura-Skoda et Rudolf Firkušný.
Il fait ses débuts comme soliste en 1973 avec l'Orchestre symphonique de Lausanne, sous la direction d'Arnold Katz. Il remporte le concours international de piano de Genève en 1974 et est engagé pour le Concours Marguerite Long-Jacques Thibaud à Paris. Deux ans plus tard, il obtient le premier prix et le grand prix du public au Concours van Cliburn aux États-Unis.
Le répertoire de Kempf est principalement composé des compositeurs romantiques comme Beethoven, Chopin, Schumann, Brahms, Liszt ou encore Rachmaninoff. Il est également connu pour son interprétation du cycle de la jeunesse de Beethoven et de l'œuvre complète de Schubert.
Bernard Kempf a enregistré pour les labels Erato, Harmonia Mundi, Deutsche Grammophon, Virgin Classics, Naxos et EMI. Il est membre du jury de nombreux concours internationaux tels que le Concours Marguerite Long-Jacques Thibaud, le Concours Reine Élisabeth de Belgique ou encore le Concours Clara Haskil. Depuis 1983, il enseigne au Conservatoire Supérieur de Lausanne et à l'Académie Pianistique Internationale de Cours-la-Ville en Suisse.
Depuis 2004, Bernard Kempf est professeur d'enseignement supérieur à l'Université de musique de Vienne en Autriche. Il a également reçu de nombreuses distinctions et récompenses pour son travail, notamment le Grand Prix du Disque, le Diapason d'Or, la Victoire de la Musique, le Gramophone Award et l'Echo Klassik.