De Schoenmaker est né dans une famille juive hollandaise d'origine allemande. Il a commencé sa carrière sportive en tant que nageur et a remporté son premier titre mondial lors des Championnats Européens de Natation 1983 à Rome, où il a battu le record du monde sur 200 mètres dos.
Lors des Jeux olympiques d'été de 1984 à Los Angeles, De Schoenmaker a remporté les quatre médailles d'or suivantes : sur 100 mètres dos, sur 200 mètres dos, en relais 4 × 100 mètres nage libre et en relais 4 × 200 mètres nage libre. Il a également remporté une médaille d'argent dans l'épreuve de 400 mètres nage libre.
Après les Jeux olympiques, De Schoenmaker a continué à participer à des compétitions internationales. En 1986, il a battu le record du monde sur 200 mètres dos aux Championnats d'Europe de natation à Strasbourg, en France. En 1987, il a remporté l'or lors de la première édition des Championnats Pan-Pacifiques de nage en terminant premier dans les trois épreuves individuelles qu'il a disputées (100 mètres dos, 200 mètres dos et relais 4 × 100 mètres nage libre).
En 1988, De Schoenmaker a participé à ses deuxièmes Jeux olympiques lors des Jeux olympiques d'été de 1988 à Séoul. Il a remporté une médaille de bronze en relais 4 × 200 mètres nage libre.
Après sa carrière sportive, De Schoenmaker s'est installé aux États-Unis et est devenu consultant télévisuel pour la NBC lors des Jeux olympiques d'été de 1996 à Atlanta. Il a également servi comme correspondant de la BBC pendant les Jeux olympiques d'été de 2000 à Sydney. En 2013, il a été introduit au Temple international de la renommée de la natation et a reçu un prix pour son travail humanitaire en tant que fondateur d'un centre de rééducation à Amsterdam pour les jeunes atteints d'un handicap moteur.