Il a grandi à La Romana en République dominicaine, où il a commencé sa carrière d'athlète au lycée de la ville. Après plusieurs succès à des compétitions nationales, il décide de quitter son pays natal pour poursuivre ses études et sa carrière sportive aux États-Unis.
En 2001, Felix Sanchez obtient la nationalité américaine et représente les États-Unis lors de compétitions internationales. Cette même année, il remporte la médaille d'or en 400 m haies lors des Championnats du monde d'athlétisme qui se déroulaient à Edmonton au Canada.
En 2004, Felix Sanchez devient citoyen américain et prend part aux Jeux olympiques de la jeunesse à Singapour. L'année suivante, il participe aux Jeux olympiques d'Athènes en Grèce. Il y remporte la médaille d'or en 400 m haies et termine 5ème sur 400 m.
En 2008, Felix Sanchez est le porte-drapeau de la délégation dominicaine lors des Jeux olympiques de Pékin en Chine. Il remporte sa deuxième médaille d'or en 400 m haies aux côtés de Félix López.
En 2012, Felix Sanchez participe à ses troisièmes Jeux olympiques lors des Jeux olympiques de Londres au Royaume-Uni. Il termine 5ème en 400 m haies et remporte la médaille de bronze sur relais 4 × 400 m aux côtés de Lashawn Merritt, Bershawn Jackson et Greg Nixon.
En 2016, Felix Sanchez est qualifié pour sa quatrième participation aux Jeux olympiques lors des Jeux olympiques de Rio au Brésil. Il termine 4ème en 400 m haies.
Felix Sanchez compte également plusieurs autres médailles internationales dans diverses épreuves d'athlétisme, notamment une médaille d'or aux Championnats du monde d'athlétisme de 2015 et deux médailles d'argent lors des Jeux panaméricains de 2011 et 2019.
Felix Sanchez est un des athlètes les plus titrés de son pays, le République dominicaine, et un des athlètes les plus décorés au monde dans l'épreuve de 400 m haies. Il est considéré comme un modèle pour de nombreuses jeunes générations d'athlètes en République dominicaine et aux États-Unis.