Kelly a étudié le théâtre à l'University of Birmingham et a ensuite commencé à travailler comme scénariste pour la télévision en 2001, écrivant notamment pour des émissions telles que "Pulling", "Two Pints of Lager and a Packet of Crisps" et "Mat Horne's Big Night Out".
En 2007, il a écrit le livret de l'opéra satirique "Elephantom", composé par Jules Horne. Cette même année, il a également écrit la pièce de théâtre "The Gods Weep" qui a reçu une nomination au Laurence Olivier Award du meilleur nouveau dramaturge en 2008.
En 2009, Kelly a créé la série télévisée "Pulling", dans laquelle il a également été producteur exécutif et scénariste principal. La série a reçu des critiques positives et a été nominée pour plusieurs prix, dont le BAFTA TV Award du meilleur drame en 2010.
En 2010, Kelly a écrit la pièce de théâtre "Oslo" qui a été nommée au South Bank Sky Arts Awards du meilleur drama. En 2011, il a créé la série télévisée "Utopia", pour laquelle il a également été producteur exécutif et scénariste principal. La série a reçu des critiques élogieuses et a remporté le BAFTA TV Award du meilleur drama en 2014.
En 2013, Kelly a écrit la pièce de théâtre "The Racky and the Raddy" qui a reçu une nomination au Laurence Olivier Award du meilleur nouveau dramaturge en 2014. En 2017, il a créé la série télévisée "Rellik", pour laquelle il a également été producteur exécutif et scénariste principal. La série a reçu des critiques positives.
En 2019, Kelly a écrit le livret de l'opéra "The Devil Inside" composé par Jules Horne. Cette année-là , il a également écrit la pièce de théâtre "Love and Money" qui a été nommée au South Bank Sky Arts Awards du meilleur drama en 2020.
Kelly est connu pour son travail sur des sujets controversés tels que la religion et la politique, ainsi que pour ses travaux sur des genres variés tels que l'horreur, la comédie noire et le drame psychologique.