Diplômé du National Youth Theatre de Londres en 1971, Birrell commence sa carrière professionnelle au théâtre à Manchester et travaille ensuite avec la Royal Shakespeare Company (RSC) à Stratford-upon-Avon. Il joue notamment dans des pièces telles que "Richard III" de William Shakespeare, "The Plough and the Stars" de Sean O'Casey et "Woman in Mind" d'Alan Ayckbourn.
En 1986, Birrell se fait remarquer pour son rôle de Jim, un tueur en série, dans la série télévisée "Tales of the Unexpected" de Roald Dahl. Cette même année, il rejoint la troupe du National Theatre et joue dans plusieurs pièces, notamment "A Day in the Death of Joe Egg", "The Cherry Orchard" et "Our Country's Good".
Durant les années 1990 et 2000, Birrell travaille à nouveau principalement au théâtre mais apparaît également dans des séries telles que "Casualty" (où il joue le rôle récurrent de Tom Campbell) et "The Bill". Il a également réalisé plusieurs épisodes de la série télévisée "A Touch of Frost", dans laquelle il a joué auparavant.
En 2013, Birrell rejoint la troupe du Royal National Theatre pour interpréter le rôle de George Evans dans la pièce "The Curious Incident of the Dog in the Night-Time". Cette représentation lui vaut d'être nommé aux Laurence Olivier Awards du meilleur acteur.
En 2016, il joue dans la pièce "Journey's End" de R.C. Sherriff, avec laquelle il remporte le prix de la Meilleure pièce pour les Evening Standard Theatre Awards et est nommé aux Laurence Olivier Awards du meilleur acteur.
David Birrell est également connu pour son activité caritative en faveur des victimes du SIDA et pour avoir été porte-parole de la campagne "It's a Sin" pour la sensibilisation à l'égard de la maladie.