Clara Burel est née le 23 janvier 2004 à Toulouse. Elle a commencé à pratiquer le tennis à l'âge de quatre ans sous la houlette de son père, Hervé, qui était un joueur amateur de tennis. Son talent pour le sport s'est rapidement révélé et elle a gravi les échelons des compétitions junior.
En 2019, Clara Burel a remporté le tournoi junior Roland-Garros en simple et a atteint la finale du double avec l'Américaine Caty McNally. Elle a également été classée première mondiale junior.
La même année, elle a fait ses débuts sur le circuit WTA à Rabat, où elle a perdu au premier tour face à la Tchèque Marie Bouzková. En novembre 2019, elle a remporté son premier titre sur le circuit ITF en simple à Monastir en Tunisie.
En 2020, Clara Burel a atteint les demi-finales du tournoi de Roland-Garros junior pour la deuxième année consécutive et a remporté son premier titre sur le circuit WTA à Bastad en Suède. Elle a également fait ses débuts dans les tournois du Grand Chelem en simple senior à l'US Open, où elle est entrée via un wild card.
En 2021, Clara Burel a remporté son deuxième titre sur le circuit WTA à Strasbourg et a atteint la finale de l'Open d'Australie junior. Elle a également fait ses débuts dans les tournois du Grand Chelem en double senior à Roland-Garros.
Au cours de sa carrière, Clara Burel a remporté huit titres sur le circuit ITF et vingt-cinq titres en simple junior. Elle est entrée dans le top 100 mondial pour la première fois en janvier 2021, à la 93e place mondiale. Elle est connue pour son jeu offensif et sa force physique sur court.
Clara Burel continue de faire progresser son tennis, avec l'objectif de devenir une des meilleures joueuses françaises et de remporter des titres majeurs sur le circuit WTA.