Né à Moscou en 1902 dans une famille aristocratique, Kojeve est élevé en Allemagne puis retourne en Russie pour poursuivre ses études universitaires à l'université de Moscou où il obtient un doctorat en droit et se tourne vers la philosophie.
En 1925, à la suite de la révolution d'Octobre, Kojeve quitte définitivement la Russie et part pour Paris. Il étudie l'histoire de l'art sous la direction de Heinrich Wolfflin avant de se tourner vers la philosophie, où il est particulièrement influencé par la pensée hégélienne et la tradition allemande en général.
Il entretient également une amitié proche avec le philosophe Martin Heidegger, qui a eu un impact profond sur sa pensée philosophique. De plus, il est l'un des premiers à introduire les idées de Heidegger en France dans les années 1930 et 1940.
Avec Emmanuel Levinas, Kojeve est membre du cercle de Croixbois, un groupe de philosophes juifs franco-russe qui se réunissent régulièrement pour échanger idées sur la pensée hégélienne et son application à l'histoire contemporaine. Le travail de ce cercle a été très influent dans les milieux intellectuels français des années 1930 et 1940.
Kojeve est également connu pour avoir eu une influence significative sur la pensée politique de Jean-Paul Sartre, notamment son concept d'histoire dialectique. En effet, Kojeve a donné des cours à la librairie de Lausanne, qui ont servi de base pour le livre de Sartre "L'Existentialisme est un humanisme".
En 1940, Kojeve est nommé conseiller technique au Commissariat général aux Questions juives, poste qu'il occupe jusqu'à l'arrivée des Allemands à Paris. Il a également collaboré avec le régime de Vichy comme membre de la Commission du statut juridique des Juifs de France.
Après la Seconde Guerre mondiale, Kojeve se retire dans une grande villa située au bord d'un étang, où il poursuit ses travaux de recherche philosophiques et lit beaucoup de littérature russe. Il meurt à Paris en 1968.
De nos jours, la pensée de Kojeve continue d'être influente dans les milieux académiques français et internationaux, particulièrement dans le domaine de la philosophie politique et de l'histoire.