Le nom de famille Eugui-Mezquiriz est d'origine basque. Les noms basques sont souvent toponymiques, dérivés de lieux géographiques ou de caractéristiques du paysage. "Eugui" est le nom d'un village situé dans la région de la Navarre, en Espagne, et il est courant que des familles prennent le nom du lieu d'où elles proviennent. "Mezquiriz" est également d'origine basque et suit une logique similaire, souvent liée à un lieu spécifique. La combinaison des deux noms peut indiquer une union de deux familles ou lignées issues de ces deux localités basques.
